摘 要：提出在各種測量精度及誤差不同分布形式下，實際處理實驗不確定度的幾種近似方法。
關 鍵 詞：測量誤差；分布形式；不確定度；實際處理
中圖分類號: O4-34 文獻標識碼：A 文章編號：1000-274X(2003)0048-04
任何測量都存在誤差，由于測量的客觀真值無法得知及測量條件的非理想化，使誤差大小無法確定。為了使測量誤差減到最小，除選擇不同測量方法外，還確立了各種誤差特征分類及分布規(guī)律，用來作誤差處理。國際計量委員會通過的《BIPM實驗不確定度的說明建議書INC-1 （1980）》（以下簡稱建議書）建議用不確定度（uncertainty）取代誤差（error）來表示實驗結果，并按其性質將不確定度從估計方法上分為按統(tǒng)計分布的A類不確定度和按非統(tǒng)計分布的B類不確定度兩類，分別進行處理后再進行合成。從而使得“由于測量誤差的存在而對被測量值不能確定的程度”得到更科學的評估。由近年來關于不確定度的許多討論文章及不確定度的定義，我們可以對誤差和不確定度的關系理解為：測量中的不可靠量值為誤差，導致測量結果的不可靠量值為不確定度。標準偏差較集中地反映了測量誤差對實驗結果的影響，而不確定度則綜合了全部誤差因素對實驗結果的影響。但是，由于不確定度的運用仍在“建議”階段以及它與誤差的緊密聯(lián)系，且誤差從根本上說又是“一種粗略的估計”，所以不確定度的估算很難用簡單的定義來解決，而是需要按實際情況合理地加以處理。筆者根據不同實驗條件的具體情況，提出幾點實驗不確定度的實際處理方法。
1 高精度測量結果（誤差正態(tài)分布時）不確定度的估算
參考《建議書》的精神，總不確定度u從估計方法上可分為A類不確定度和B類不確定度。A類不確定度是多次重復測量，用統(tǒng)計方法估算的不確定度分量；B類則是不能用統(tǒng)計方法估算的其他不確定度分量。
1.1 A類不確定度分量的估算
參考《建議書》的精神，總不確定度u從估計方法上可分為A類不確定度和B類不確定度。A類不確定度是多次重復測量，用統(tǒng)計方法估算的不確定度分量；B類則是不能用統(tǒng)計方法估算的其他不確定度分量。
1.1 A類不確定度分量的估算
此項分量（測量次數較多，n＞10時）一般直接由測量列平均值的標準偏差來近似估計，即
⑴
式中： 為有限次測量平均值的標準偏差； 為有限次測量列單次測量的標準偏差。
1.2 B類不確定度分量的估算
此項分量的估算，要對影響測量結果的各項進行仔細分析研究以確定其分布、大小、相關因子等，并用經驗方法將其換算成與標準偏差有相同置信概率的分量，而最后合成。
1.3 總不確定度的估算
根據《建議書》要求，合成不確定度及其分量要用“標準偏差”的形式，即方和根的形式表示為
⑵
合成不確定度 乘以對應于某一置信概率P 的置信因子 ，則得到總不確定度u。
此類不確定度的估算屬計量、標定及高精度測量（相對不確定度在0.001以內）等部門專業(yè)人員的工作，許多問題的分析已超出普通測量的要求范圍。一般數據處理教材及國家計量技術標準中［１］都是以不確定度分布服從正態(tài)分布理論為依據的，這主要是由于目前正態(tài)分布的研究最完善，用其他分布分析測量結果的合成不確定度比較困難，而以近似正態(tài)分布來處理。
2 少次數測量情況下不確定度的估算
2.1 不確定度A類分量的估算
在許多情況下（如普通物理實驗），一般測量次數不大于10（5＜n≤10）時，以算術平均值的標準偏差作為A類分量，仍以正態(tài)分布作測量結果的報道，則將出現(xiàn)較大偏差（偏小），從而夸大了實驗的精確度［２］。這時，常以聯(lián)系正態(tài)樣本平均值 和偏差 的統(tǒng)計量 （ 為期望值）所服從的t分布（又稱Student分布）來報道平均值的誤差更為合理。可以推導：當5＜n≤10時，取 ，由t分布的概率數表可算得置信概率P，如表1。
表 1 置信概率表
Tab.1 Believe probability
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測量次數n
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2
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3
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4
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5
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6
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7
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8
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9
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10
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11
|
|
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1.41
|
1.73
|
2
|
2.24
|
2.45
|
2.65
|
2.83
|
3
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3.16
|
3.32
|
|
置信概率P
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0.610
|
0.775
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0.861
|
0.911
|
0.942
|
0.962
|
0.974
|
0.983
|
0.988 8
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0.992
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所以，以統(tǒng)計方式估計的A類分量不確定度 簡化等于測量列的單次測量標準偏差［３］。
即 （n－1為自由度；P接近或大于95%）。
⑶
⑶
2.2 不確定度B類分量的估算
B類分量常以儀器誤差 乘以與其分布有關的因子 簡化表示［３］。如前所述，在少次數測量情況下，具體分析 的原因和確定 已超出了實驗課程的要求范圍。但是，因 為儀器的允許誤差（檢定規(guī)程或有關技術文件規(guī)定的計量器具所允許的極限值），則應有接近100%的置信概率（P≈0.99）。因而，大多數實驗可簡化近似 與 取相同置信因子P≥0.95 ，而直接將 當作總不確定度中B類分量（ 可從有關國家標準查得）。
2.3 總不確定度的估算
以 作為總不確定度A類分量， 為總不確定度的B類分量，按照方和根的合成形式，總不確定度可簡化用下式求出
（P≥95%）
這一估計方法，與國際上工業(yè)技術和商務活動中所推薦的置信概率P=0.95，以及考慮實驗的實際應用性而采用高置信度的做法相一致，也是與我國有關技術規(guī)范基本一致的比較簡單、合理的估算方法，且在實驗中用帶有統(tǒng)計運算功能的計算器可方便地求得 和u。
3 普通精度實驗不確定度的估算
3.1 A類不確定度的估算
普通精度測量（相對不確定度在0.01~0.001左右）如普通物理實驗等，因精度要求較低，則可只討論主要幾個影響較大的誤差分量而忽略其他微小分量。因不確定度的有效數字在普通測量中一般只取一位，此項可根據不確定度傳遞公式，將小于最大分量1/3之后的各項舍去，而后按測量列平均值的標準偏差公式計算（見式⑴）。
3.2 B類不確定度的估算
B類不確定度的估算，如能確定其分布規(guī)律，可按各自分布規(guī)律處理。一般情況下，因數理統(tǒng)計，誤差分布等已超出普通測量討論范圍，可采用近似標準偏差來估算。如，當非統(tǒng)計不確定度相應的估計誤差為正態(tài)分布時，取，非統(tǒng)計不確定度相應的估計誤差為均勻分布（方法、環(huán)境、數字儀表等誤差分布）時，取 等。式中Δ為非統(tǒng)計不確定度相應的估計誤差限，常取為儀器誤差 。
3.3 總不確定度的合成
把各分量按“標準偏差”的形式合成，其中包括按各自分布處理的分量及非統(tǒng)計分量按正態(tài)分布近似處理的非正態(tài)估算分量，且一般采用平均值的一倍標準偏差估算（P=0.683）。此類估算方法為一較好近似結果，且在普通精度測量的不確定度估算中，避免了許多次要影響量及復雜的處理過程［４］。
4 特殊情況不確定度的估算
如當B類不確定度較小（可忽略），則總不確定度直接用A類不確定度 表示。對于少次數測量，可用單次測量的標準偏差 表示，即 。
如，當 ，或因估計出的u對實驗最后結果影響甚小，或因條件限制只進行了一次測量時，u可簡單的用 表示。對于少次數測量，可直接以 表示，即 。
實驗不確定度的估計是以嚴密的數理統(tǒng)計理論為基礎的，而在絕大多數情況下實驗者往往不具備數理統(tǒng)計、誤差分布方面的專業(yè)知識，或沒有必要作過多的復雜處理。本文所述的實驗不確定度的幾種近似估算方法，可在實際運用中作以參考。
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